振动·引力·宇宙
Oscillations & CosmosWPH15 · 多毛鸟仰望星辰
秋千的摇摆、塔科马桥的崩塌、星光的红移——多毛鸟从一次振动，望向整个膨胀的宇宙。
从摆动到膨胀
SHM、共振、阻尼。
万有引力、轨道运动。
黑体辐射、恒星、红移、大爆炸。
💡 主线：振动的频率、恒星的温度、宇宙的膨胀——都靠"测量周期性"读出。
a = −ω²x：回复力
加速度与位移成正比、方向相反(指向平衡位置)。
即 a=−ω²x，ω 为角频率。这是 SHM 的"身份证"。
x = A cos(ωt)
v = −Aω sin(ωt)；v 与 x 相位差 π/2。
💡 平衡位置：x=0 时 v 最大(全动能)；振幅处：v=0，a 最大(全势能)。能量来回转换。
弹簧与单摆
T = 2π√(m/k)
质量越大→越慢；劲度 k 越大→越快。与振幅无关(等时性)。
T = 2π√(L/g)（小角度近似）
只看摆长 L 和重力 g，与质量无关。
💡 由 T 反推 g（单摆测重力）或 k（弹簧测劲度）——CP16 的延伸。
驱动频率 = 固有频率 → 振幅爆炸
自由：按固有频率振。
受迫：按驱动频率振。
共振：驱动频率=固有频率→振幅最大。
💡 塔科马桥、玻璃杯被歌声震碎、收音机调频——都是共振。阻尼让共振峰变矮变宽。
能量逐渐耗散
振幅缓慢减小，仍多次振荡。
最快回到平衡、不越过。汽车减震器理想状态。
阻尼过大，缓慢爬回平衡，不振动。
💡 阻尼越大，共振峰越低越宽。防共振=加大阻尼。
F = GMm/r²
g = F/m = GM/r²（单位质量受力）。
地球表面 g≈9.81 N/kg。
V = −GM/r（无穷远取 0）。
负号必考：引力做正功势能减小，势总为负。
💡 与电场同是平方反比；但引力只有吸引(势为负)，电场可吸可斥。
万有引力 = 向心力
卫星圆周：引力提供向心力。
GMm/r² = mv²/r → v = √(GM/r)。
地球同步卫星：周期=24h，固定高度，相对地面静止。
低轨：周期短、速度快、寿命短(稀薄大气阻力)。
💡 轨道越高→越慢(v 小、T 大)，但总能量越大(势能升)。
恒星的颜色 = 温度
L = 4πr²σT⁴
光度∝半径²·温度⁴。温度升一点，辐射暴增。
λ_max · T = 2.9×10⁻³ m·K
越热→峰值波长越短(偏蓝)；越冷→偏红。
💡 蓝星最热、红星最冷——颜色就是温度计。太阳约 5800K(偏黄白)。
宇宙的"梯子"
近距恒星：地球绕日两端观测的角度差→距离。越远视差越小。
已知光度的天体(造父变星/Ia 超新星)：由测得的亮度反推距离。
I ∝ 1/d²：距离翻倍，亮度变 1/4。
💡 宇宙测距像爬梯子：近的用视差，远的用标准烛光，更远的用红移。
光度 vs 温度
主序：多数恒星(包括太阳)，斜带。
巨星：右上，亮而冷(体积大)。
白矮星：左下，热而暗(体积小)。
⚠️ 横轴温度向左递增(高温在左)——这是 HR 图最易混的地方。
质量决定命运
主序 → 红巨星 → 行星状星云 → 白矮星(缓慢冷却)。
主序 → 红超巨星 → 超新星爆发 → 中子星 / 黑洞。
💡 重元素(金、铀)只在超新星爆发中诞生——你身上的金属，曾是恒星之心。
远离 → 光变红
光源远离→波长被拉长(红移)。
Δλ/λ ≈ v/c（v≪c 时）。退行越快，红移越大。
v = H₀ d：退行速度正比于距离。
越远的星系跑得越快→宇宙在膨胀。
💡 由 H₀ 可估宇宙年龄 t ≈ 1/H₀（约 140 亿年）。
三大证据
几乎所有星系都在远离→宇宙膨胀。
宇宙微波背景辐射——大爆炸的"余温"，均匀充满全天。
氢氦比例(~3:1)与理论预言一致。
🐦 多毛鸟结语：从一次振动到宇宙诞生，物理用同一套方程丈量万物。
必背公式
a=−ω²x · x=Acos(ωt) · T=2π√(m/k) · T=2π√(L/g)
F=GMm/r² · g=GM/r² · V=−GM/r · v=√(GM/r)
L=4πr²σT⁴ · λmax·T=2.9×10⁻³ · I∝1/d² · Δλ/λ≈v/c · v=H₀d
G=6.67×10⁻¹¹ · σ=5.67×10⁻⁸
坑 & 例子
① 引力势恒为负，别写成正。
② HR 图横轴温度左高右低。
③ SHM 等时性：T 与振幅无关。
秋千(共振)、塔科马桥(共振崩塌)、手机震动马达、调频收音机、GPS 卫星轨道。
⚠️ CP16：测共振曲线——改变驱动频率，记录振幅，画振幅-频率图找共振峰。
振动·引力·宇宙
完成！
① 弹簧 m=0.2kg、k=80N/m，周期？(T=2π√(m/k))
② 卫星离地心 r 的速度？(v=√(GM/r))
③ 星系红移 Δλ/λ=0.01，退行速度？(v=0.01c)
Pearson Edexcel IAL Physics (2018, Issue 3) · WPH15 · Topic 5–10（SHM/共振/引力场/黑体辐射/天文/宇宙学）· CP16